Question

（Ⅰ）求以點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）分別為左右焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，-2

6

）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，-

10

）的雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（I）由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），將點(diǎn)P（3，-2

6

）的坐標(biāo)代入，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由于焦點(diǎn)坐標(biāo)可能以x軸上，也可能在y軸上，故應(yīng)分為兩種情況，結(jié)合雙曲線的離心率為

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，-

10

）構(gòu)造方程，解方程可得雙曲線的方程．

解答：解：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，-2

6

）
故

9  a2 + 24 b2 =1 a2=b2+4

解得a²=36，b²=32
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

36

+

y2

32

=1
（II）∵雙曲線的離心率為

2

，
故雙曲線為等軸雙曲線，即a=b
若焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1
將點(diǎn)P（4，-

10

）代入得a²=6
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

6

-

y2

6

=1
若焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

-

x2

a2

=1
將點(diǎn)P（4，-

10

）代入得a²=-6（舍去）
綜上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

6

-

y2

6

=1

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查橢圓方程和雙曲線方程的求法，熟練掌握待定系數(shù)法求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法過(guò)程是解答的關(guān)鍵．