Question

已知函數(shù)f（x）=（b∈R）．
（1）是否存在實(shí)數(shù)b，使得f（x）在（0，）上為增函數(shù)，在（，π）上為減函數(shù)？若存在，求出b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如果當(dāng)x≥0時(shí)，都有f（x）≤0恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）=求導(dǎo)，若存在實(shí)數(shù)b，使得f（x）在（0，）上為增函數(shù)，在（，π）上為減函數(shù)，則，由此可得結(jié)論；
（2）令，得-bcos²x+2（1-2b）cosx+1-4b=0，再分類討論，利用當(dāng)x≥0時(shí)，都有f（x）≤0恒成立，即可試求b的取值范圍．
解答：解：（1）存在b=0，使得結(jié)論成立．
對(duì)函數(shù)f（x）=求導(dǎo)得．
若存在實(shí)數(shù)b，使得f（x）在（0，）上為增函數(shù)，在（，π）上為減函數(shù)，則，
∴b=0，這時(shí)，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)x∈（，π）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
（2）令，
得-bcos²x+2（1-2b）cosx+1-4b=0．
∴△=4（1-2b）²+4b（1-4b）=4（1-3b）．
若b≥，即△≤0，則f′（x）≤0對(duì)x≥0恒成立，這時(shí)f（x）在[0，+∞）上遞減，
∴f（x）≤f（0）=0，符合題意．
若b＜0，則當(dāng)x≥0時(shí)，-bx∈[0，+∞），，f（x）=不可能恒小于等于0．
若b=0，則f（x）=，不合題意．
若0＜b＜，則f′（0）=＞0，f′（π）=-b-1＜0，∴?x∈（0，π），使f′（x）=0．
x∈（0，x）時(shí)，f′（x）＞0，這時(shí)f（x）遞增，f（x）＞f（0）=0，不合題意．
綜上可得實(shí)數(shù)b的取值范圍是[）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)內(nèi)容．