Question

【題目】已知位數(shù)滿足下列條件：①各個(gè)數(shù)字只能從集合中選取；②若其中有數(shù)字，則在的前面不含，將這樣的位數(shù)的個(gè)數(shù)記為；

（1）求、；

（2）探究與之間的關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)得到一個(gè)新數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試探究能否成立，寫(xiě)出你探究得到的結(jié)論并給出證明；

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）不能成立，證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)已知條件，進(jìn)行分類討論，由此計(jì)算出的值.

（2）根據(jù)已知條件，分類討論求得和之間的遞推關(guān)系式，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（3）根據(jù)（2）中求得的數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算出，由此證得不成立.

（1）當(dāng)時(shí)，這樣的位數(shù)有個(gè)，所以.

當(dāng)時(shí)，若個(gè)位數(shù)字為，則十位數(shù)字可以為，共有種；若個(gè)位數(shù)字為，則十位數(shù)字可以為，共有種.所以當(dāng)時(shí)，共有種，即.

當(dāng)時(shí)，若個(gè)位數(shù)字是，則十位和百位的可能情況有種；若個(gè)位數(shù)字為，則十位和百位分別有種，共有種.所以.

（2）結(jié)合（1）的分析可知，當(dāng)位數(shù)時(shí)，若個(gè)位數(shù)字是，其余個(gè)位置的方法數(shù)為；若個(gè)位數(shù)字為，則其余個(gè)位置的方法數(shù)為種.所以.整理得，所以是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，則，化簡(jiǎn)得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（3）由（2）得.則

，

，

由于，所以單調(diào)遞增，所以不成立.