Question

（08年廣東佛山質(zhì)檢理）如圖，在組合體中，是一個(gè)長方體，是一個(gè)四棱錐．，，點(diǎn)且．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求與平面所成的角的正切值；

（Ⅲ）若，當(dāng)為何值時(shí)，．

 

Answer 1

解析:(Ⅰ)證明：因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090318/20090318162105001.gif' width=95>，，所以為等腰直角三角形，所以．                                                    ……1分

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090318/20090318162105006.gif' width=113>是一個(gè)長方體，所以，而，所以，所以．             ……3分

因?yàn)?IMG height=16 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090318/20090318162105011.gif' width=25>垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和，由線面垂直的判定定理，可得．…4分

(Ⅱ)解：過點(diǎn)在平面作于，連接．……5分

因?yàn)?IMG height=20 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090318/20090318162106021.gif' width=119>，所以，所以就是與平面所成的角．……6分

因?yàn)?IMG height=16 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090318/20090318162106026.gif' width=43>，，所以．        ……7分

所以與平面所成的角的正切值為．                   ……8分

(Ⅲ)解：當(dāng)時(shí)，．                             ……9分

當(dāng)時(shí)，四邊形是一個(gè)正方形，所以，而，所以，所以．                                 ……10分

而，與在同一個(gè)平面內(nèi)，所以．        ……11分

而，所以，所以．                           ……12分

方法二、方法二：(Ⅰ)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長，則有，，，．                              ……2分

于是，，，所以，．……3分

所以垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和，由線面垂直的判定定理，可得．                                             ……4分

(Ⅱ)，所以，而平面的一個(gè)法向量為．…5分

所以．                            ……6分

所以與平面所成的角的正弦值為．                 ……7分

所以與平面所成的角的正切值為．                 ……8分

(Ⅲ)，所以，．設(shè)平面的法向量為，則有，令，可得平面的一個(gè)法向量為．                                                   ……10分

若要使得，則要，即，解得．…11分

所以當(dāng)時(shí)，．                               ……12分