Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC內(nèi)，∠OPA=45°，∠OPB=60°，則∠OPC的度數(shù)為（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、75°

Answer 1

分析：根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征我們易判斷出這是一個(gè)有三條棱在P點(diǎn)兩兩垂直的三棱錐，由已知中O在△ABC內(nèi)，∠OPA=45°，∠OPB=60°，利用“三余弦”定理，我們易求出∠OPC的余弦值，進(jìn)而求出∠OPC的度數(shù)．

解答：解：已知如圖所示：
過(guò)O做平面PBC的垂線，
交平面PBC于Q，連接PQ
則∠OPQ=90°-60°=30°．
∵cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB，
得到cos∠QPB=

6

3

∵∠QPC是∠QPB的余角，
∴cos∠QPC=

3

3

∴cos∠OPC=cos∠OPQ×cos∠QPC，
∴cos∠OPC=

1

2

∴∠OPC=60°
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的結(jié)構(gòu)特征，其中利用“三余弦”定理，我們易求出∠OPC的余弦值，是解答本題的關(guān)鍵．