Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）＞kx-k對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（Ⅲ）若a_k=2ln2+3ln3+…+klnk（k≥3，k∈N^*），證明：

n

k=3

1

ak

＜1（n≥k，n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，由此能求出a．
（Ⅱ）f（x）＞kx-k對(duì)任意x＞1恒成立，即k＜

x+xlnx

x-1

對(duì)任意x＞1恒成立，求出右邊的最小值，即可求得k的最大值．
（Ⅲ）由（II）知xlnx＞2x-3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N^*），疊加，求出a_k＞（k-1）²，再利用放縮法，裂項(xiàng)求和，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，∴a+lne+1=3，
∴a=1；
（II）由（I）知，f（x）=x+xlnx，
∴f（x）＞kx-k對(duì)任意x＞1恒成立，即k＜

x+xlnx

x-1

對(duì)任意x＞1恒成立．
令g（x）=

x+xlnx

x-1

，則g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），
則h′（x）=

x-1

x

＞0，
∴函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)增加，
∵h(yuǎn)（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一實(shí)數(shù)根x₀，滿足x₀∈（3，4），且h（x₀）=0
當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
∴[g（x）]_min=g（x₀）=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x₀∈（3，4），
∴k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4），
故整數(shù)k的最大值是3．
（III）由（II）知xlnx＞2x-3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N^*），則有
2ln2＞2•2-3，3ln3•3-3，…，klnk＞2k-3，
將上面各式相加得2ln2+3ln3+…+klnk＞2（2+3+…+k）-3（k-1）=（k-1）²，
即a_k＞（k-1）²，
故

1

ak

＜

1

(k-1)2

＜

1

(k-1)(k-2)

=

1

k-2

-

1

k-1

（k≥3），
∴

n

k=3

1

ak

＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-2

-

1

n-1

=1-

1

n-1

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求切線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．