Question

11．建立極坐標系證明：已知半圓直徑|AB|=2r（r＞0），半圓外一條直線l與AB所在直線垂直相交于點T，并且|AT|=2a（2a$＜\frac{r}{2}$），若半圓上相異兩點M，N到l的距離|MP|，|NQ|滿足|MP|：|MA|=|NQ|：|NA|=1，則|MA|+|NA|=|AB|．

Answer 1

分析 證法一，建立極坐標系，利用半圓的極坐標方程表示出|MP|、|NQ|；構(gòu)造方程，利用韋達定理證明|MA|+|NA|=|AB|；
證法二：建立極坐標系，利用半圓的極坐標方程表示出點M、N，由M、N在拋物線ρ=$\frac{2a}{1-cosθ}$上，得出|MA|+|NA|=|AB|．

解答 解：證法一：以A為極點，射線AB為極軸建立直角坐標系，
則半圓的極坐標方程為ρ=2rcosθ，設M（ρ₁，θ₁），N（ρ₂，θ₂），
則ρ₁=2rcosθ₁，ρ₂=2rcosθ₂，
又|MP|=2a+ρ₁cosθ₁=2a+2rcos²θ₁，|NQ|=2a+ρ₂cosθ₂=2a+2rcos²θ₂，
∴|MP|=2a+2rcos²θ₁=2rcosθ₁，|NQ|=2a+2rcos²θ₂=2rcosθ₂；
∴cosθ₁，cosθ₂是方程rcos²θ-rcosθ+a=0的兩個根，
由韋達定理：cosθ₁+cosθ₂=1，
∴|MA|+|NA|=2rcosθ₁+2rcosθ₂=2r=|AB|．
證法二：以A為極點，射線AB為極軸建立直角坐標系，
則半圓的極坐標方程為ρ=2rcosθ，
設M（ρ₁，θ₁），N（ρ₂，θ₂），
又由題意知，點M、N在拋物線ρ=$\frac{2a}{1-cosθ}$上，
∴2rcosθ=$\frac{2a}{1-cosθ}$，
即rcos²θ-rcosθ+a=0，
設cosθ₁，cosθ₂是該方程的兩個根，
由韋達定理：cosθ₁+cosθ₂=1，
∴|MA|+|NA|=2rcosθ₁+2rcosθ₂=2r=|AB|．

點評 本題考查了極坐標方程的應用問題，也考查了邏輯推理能力與計算能力，是綜合性題目．