Question

3．如圖，在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，其中心為點(diǎn)O．
（1）在正六邊形ABCDEF的邊上任取一點(diǎn)P，求滿足$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OE}$上的投影大于$\frac{1}{2}$的概率；
（2）從A，B，C，D，E，F(xiàn)這六個點(diǎn)中隨機(jī)選取兩個點(diǎn)，記這兩個點(diǎn)之間的距離為x，求x大于等于$\sqrt{3}$的概率．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)閳D形為正六邊形，利用$\overrightarrow{OF}，\overrightarrow{OD}$在$\overrightarrow{OE}$的投影相等為$\frac{1}{2}$，從而得到滿足$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OE}$上的投影大于$\frac{1}{2}$的邊有兩條，由幾何概型可得；
（2）結(jié)合圖形可知只要選取的兩個點(diǎn)不是相鄰的，那么這兩點(diǎn)的距離一定是大于等于$\sqrt{3}$．由古典概型公式解答．

解答 解：（1）因?yàn)?\overrightarrow{OD}$在$\overrightarrow{OE}$上的投影為$|\overrightarrow{OD}|cos＜\overrightarrow{OD，}\overrightarrow{OE}＞$=|$\overrightarrow{OF}|cos＜\overrightarrow{OF}，\overrightarrow{OE}＞=\frac{1}{2}$，
∴P在線段FE（除點(diǎn)F）和線段ED（除點(diǎn)D）上運(yùn)動時，
$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OE}$上的投影大于$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OE}$上的投影大于$\frac{1}{2}$的概率P=$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$．                        …（6分）
（2）結(jié)合圖形可知只要選取的兩個點(diǎn)不是相鄰的，那么這兩點(diǎn)的距
離一定是大于等于$\sqrt{3}$．六個點(diǎn)中隨機(jī)選取兩個點(diǎn)，總共有15種：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），
（A，F(xiàn)），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F(xiàn)），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)）
∴P（x≥$\sqrt{3}$）=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$              …（12分）

點(diǎn)評 本題考查了幾何概型和古典概型的公式的運(yùn)用，關(guān)鍵是明確滿足條件的事件，利用公式解答．