Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{|x|}}}{e^x}（{x∈R}）$，若關(guān)于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0恰好有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． $（{1\;，\;\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}+1}）$
• B． $（{0\;，\;\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}}）$
• C． $（{1\;，\;\frac{1}{e}+1}）$
• D． $（{\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}\;，\;1}）$

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的取值情況，設(shè)m=f（x），利用換元法，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根的分布建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：化簡可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{x}}{{e}^{x}，}}&{x≥0}\\{\frac{\sqrt{-x}}{{e}^{x}}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＞0時，f（x）≥0，f′（x）=$\frac{（\sqrt{x}）′{e}^{x}-\sqrt{x}•{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{{e}^{x}}$=$\frac{1-2x}{2\sqrt{x}{e}^{x}}$，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，
故當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）有極大值f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}}}{{e}^{\frac{1}{2}}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{e}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}}$=$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$；
當(dāng)x＜0時，f′（x）=$\frac{-\frac{1}{2\sqrt{-x}}•{e}^{x}-\sqrt{-x}•{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-1+2x}{2\sqrt{-x}•{e}^{x}}$＜0，f（x）為減函數(shù)，
作出函數(shù)f（x）對應(yīng)的圖象如圖：
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有一個最大值為f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$；
設(shè)t=f（x），
當(dāng)t＞$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$時，方程t=f（x）有1個解，
當(dāng)t=$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$時，方程t=f（x）有2個解，
當(dāng)0＜t＜$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$時，方程t=f（x）有3個解，
當(dāng)t=0時，方程t=f（x）有1個解，
當(dāng)t＜0時，方程m=f（x）有0個解，
則方程f²（x）-mf（x）+m-1=0等價為t²-mt+m-1=0，
等價為方程t²-mt+m-1=（t-1）[t-（m-1）]=0有兩個不同的根t=1，或t=m-1，
當(dāng)t=1時，方程t=f（x）有1個解，
要使關(guān)于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0恰好有4個不相等的實數(shù)根，
則t=m-1∈（0，$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$），
即0＜m-1＜$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$，解得1＜m＜$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$+1，
則m的取值范圍是（1，$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$+1）
故選：A

點評 本題考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，是解決本題的關(guān)鍵．