Question

已知函數(shù)f（x）=1nx，g（x）=e^x
（1）求函數(shù)h（x）=g（x）f′（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)直線l為函數(shù)f（x）圖象上一點(diǎn)A（x₀，1nx₀）處的切線，證明：在區(qū)間（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直線 l與曲線y=g（x）相切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)大于0和小于0，求出函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）先求直線l為函數(shù)圖象上一點(diǎn)A（x₀，f （x₀））處的切線方程，設(shè)直線l與曲線y=g（x）相切于點(diǎn)（x1，ex1），進(jìn)而可得lnx0=

x0+1

x0-1

，再證明在區(qū)間（1，+∞）上x₀存在且唯一即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=1nx，g（x）=e^x，
∴h（x）=g（x）f′（x）=

ex

x

，
∴h′(x)=

xex-ex

x2

，
由h′(x)=

xex-ex

x2

＞0，得x＞1；由h′(x)=

xex-ex

x2

＜0，得x＜1．
∴函數(shù)h（x）的增區(qū)間是（1，+∞）；減區(qū)間是（-∞，1）．
（2）證明：∵f′（x）=

1

x

，
∴f′（x0）=

1

x0

，
∴切線l的方程為y-lnx0=

1

x0

（x-x0），
即y=

1

x0

x+lnx0-1，①（6分）
設(shè)直線l與曲線y=g（x）相切于點(diǎn)（x1，ex1），
∵g'（x）=e^x，∴ex1=

1

x0

，∴x₁=-lnx₀．（8分）
∴直線l也為y-

1

x0

=

1

x0

（x+lnx0），
即y=

1

x0

x+

lnx0

x0

+

1

x0

，②（9分）
由①②得 lnx0-1=

lnx0

x0

+

1

x0

，
∴l(xiāng)nx0=

x0+1

x0-1

．（11分）
下證：在區(qū)間（1，+∞）上x₀存在且唯一．
設(shè)φ （x）=f （x）-

x+1

x-1

，
φ′（x）=

1

x

+

2

(x-1)2

=

x2+1

x•(x-1)2

．（2分）
∵x＞0且x≠1，∴φ′（x）＞0
∴函數(shù)φ（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增．
又φ（e）=lne-

e+1

e-1

=

-2

e-1

＜0，φ（e2）=lne2-

e2+1

e2-1

=

e2-3

e2-1

＞0，（13分）
結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，方程φ（x）=0必在區(qū)間（e，e²）上有唯一的根，
這個(gè)根就是所求的唯一x₀．
故在區(qū)間（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直線 l與曲線y=g（x）相切．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查曲線的切線，同時(shí)考查零點(diǎn)存在性定理，綜合性比較強(qiáng)．