Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{2}$，h（x）=$\sqrt{x}$．
（Ⅰ）若函數(shù)h（x）=$\sqrt{x}$圖象上一點A（4，h（4）），則求在A點處的切線方程；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²，求F（x）的單調區(qū)間與極值；
（Ⅲ）設a∈R，解關于x的方程lg[$\frac{3}{2}$f（x-1）-$\frac{3}{4}$]=2lgh（a-x）-2lgh（4-x）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得h（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程，可得切線方程；
（Ⅱ）首先求出F（x）的解析式，求導，令導數(shù)大于0和小于0，分別求出單調增區(qū)間和減區(qū)間，從而可求極值．
（Ⅲ）將方程轉化為lg（x-1）+2lg$\sqrt{4-x}$=2lg$\sqrt{a-x}$，利用對數(shù)的運算法則，注意到真數(shù)大于0，轉化為等價的不等式，分離參數(shù)a，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)h（x）=$\sqrt{x}$的導數(shù)為h′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
在A點處的切線斜率為k=$\frac{1}{4}$，切點為（4，2），
即有在A點處的切線方程為y-2=$\frac{1}{4}$（x-4），
即為x-4y+4=0；
（Ⅱ）F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²=-x³+12x+9（x≥0），
即有F′（x）=-3x²+12，
令F′（x）=0，得x=2（x=-2舍去）．
當x∈（0，2）時．F′（x）＞0；當x∈（2，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0，
故當x∈[0，2）時，F(xiàn)（x）為增函數(shù)；當x∈[2，+∞）時，F(xiàn)（x）為減函數(shù)．
x=2為F（x）的極大值點，且F（2）=-8+24+9=25．
（Ⅲ）原方程變形為lg（x-1）+2lg$\sqrt{4-x}$=2lg$\sqrt{a-x}$，
?$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{4-x＞0}\\{a-x＞0}\\{（x-1）（4-x）=a-x}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜4}\\{x＜a}\\{a=-（x-3）^{2}+5}\end{array}\right.$，
①當1＜a≤4時，原方程有一解x=3-$\sqrt{5-a}$；
②當4＜a＜5時，原方程有兩解x=3$±\sqrt{5-a}$；
③當a=5時，原方程有一解x=3；
④當a≤1或a＞5時，原方程無解．

點評 本小題主要考查函數(shù)導數(shù)的應用、解方程等基礎知識，考查函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力．