Question

20．如圖，將矩形ABCD沿對角線BD把△ABD折起，使A點移到A₁點，且A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（Ⅰ）求證：BC⊥A₁D；
（Ⅱ）求證：平面A₁CD⊥平面A₁BC；
（Ⅲ）若AB=10，BC=6，求三棱錐A₁-BCD的體積．

Answer 1

分析 （（I）證明BC⊥A₁O．推出BC⊥平面A₁CD．通過直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明BC⊥A₁D．
（II）證明A₁D⊥A₁B．推出A₁D⊥平面A₁BC．然后證明平面A₁BC⊥平面A₁CD．
（III）利用${V}_{{A}_{1}-BCD}={V}_{D-{A}_{1}BC}$，求出底面面積與高，即可求出幾何體的體積．

解答 （共14分）
解：（I）因為A₁在平面BCD上的射影O在CD上，
所以A₁O⊥平面BCD．
又BC?平面BCD，
所以BC⊥A₁O．
又BC⊥CO，CO∩A₁O=O，CO?平面A₁CD，A₁O?平面A₁CD，
所以BC⊥平面A₁CD．
又A₁D?平面A₁CD，
所以BC⊥A₁D．（5分）
（II）因為矩形ABCD，
所以A₁D⊥A₁B．
由（I）知BC⊥A₁D．
又BC∩A₁B=B，BC?平面A₁BC，A₁B?平面A₁BC，
所以A₁D⊥平面A₁BC．
又A₁D?平面A₁CD，
所以平面A₁BC⊥平面A₁CD．（10分）
（III）因為A₁D⊥平面A₁BC，
所以A₁D⊥A₁C．
因為CD=10，A₁D=6，所以A₁C=8．
所以${V_{{A_1}-BCD}}={V_{D-{A_1}BC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×8×6=48$．（14分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)嗎，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查邏輯推理以及計算能力．