Question

8．設(shè)a_n是滿足下述條件的自然數(shù)的個數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字之和為n（n∈N^*），且每個數(shù)位上的數(shù)字只能是1或2．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）求證：a_5n-1（n∈N^*）是5的倍數(shù)．

Answer 1

分析 （1）a₁=1；由于11或2滿足各數(shù)位上的數(shù)字之和為2，可得a₂=2；以此類推即可得出a₃=3，a₄=5．
（2）設(shè)滿足條件的自然數(shù)X的首位為1或2兩種情況：當(dāng)X的首位為1時，則其余各位數(shù)字之和為n+1，因此首位為1的自然數(shù)X的各位數(shù)字之和為n+2的自然數(shù)的個數(shù)為a_n+1；當(dāng)X的首位為2時，則其余各位數(shù)字之和為n，因此首位為2的自然數(shù)X的各位數(shù)字之和為n+2的自然數(shù)的個數(shù)為a_n．可得各數(shù)位上的數(shù)字之和為n+2的自然數(shù)個數(shù)為a_n+1+a_n．即a_n+2=a_n+1+a_n．利用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_5n-1（n∈N^*）是5的倍數(shù)即可．

解答 （1）解：a₁=1；
由于11或2滿足各數(shù)位上的數(shù)字之和為2，∴a₂=2；
由于111，12，21滿足各數(shù)位上的數(shù)字之和為3，∴a₃=3；
由于1111，121，211，112，22滿足各數(shù)位上的數(shù)字之和為4，∴a₄=5．
（2）證明：設(shè)滿足條件的自然數(shù)X的首位為1或2兩種情況：
當(dāng)X的首位為1時，則其余各位數(shù)字之和為n+1，因此首位為1的自然數(shù)X的各位數(shù)字之和為n+2的自然數(shù)的個數(shù)為a_n+1；
當(dāng)X的首位為2時，則其余各位數(shù)字之和為n，因此首位為2的自然數(shù)X的各位數(shù)字之和為n+2的自然數(shù)的個數(shù)為a_n．
∴各數(shù)位上的數(shù)字之和為n+2的自然數(shù)個數(shù)為a_n+1+a_n．即a_n+2=a_n+1+a_n．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_5n-1（n∈N^*）是5的倍數(shù)．
（i）當(dāng)n=1時，a₄=5，因此是5的倍數(shù)；
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時，a_5k-1是5的倍數(shù)．
則n=k+1時，a_5k+4=a_5k+3+a_5k+2=2a_5k+2+a_5k+1=2（a_5k+1+a_5k）+a_5k+1=3a_5k+1+2a_5k=3（a_5k+a_5k-1）+2a_5k=5a_5k+3a_5k-1．
而5a_5k與a_5k-1都是5的倍數(shù)，因此a_5k+4是5的倍數(shù)，
∴則n=k+1時命題成立．
綜上可得：命題對于?n∈N^*都成立．

點評 本題考查了整除的理論、數(shù)學(xué)歸納法、類比推理，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．