【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面為正方形,,,分別是的中點(diǎn).

1)在平面內(nèi)求一點(diǎn),使平面,并證明你的結(jié)論;

2)求與平面所成角的正弦值.

【答案】1點(diǎn)為的中點(diǎn);證明見(jiàn)解析(2

【解析】

所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),可求出各點(diǎn)的坐標(biāo)

1)設(shè),根據(jù)線面垂直的性質(zhì),可得,進(jìn)而可求出值,得到點(diǎn)的位置;

2)求出平面的法向量為,及的方向向量的坐標(biāo),代入向量夾角公式,可得與平面所成角的正弦值.

解:以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),設(shè),則,,,,,

1)設(shè),則平面,,

,所以,

,所以,

點(diǎn)坐標(biāo)為,即點(diǎn)為的中點(diǎn).

2)設(shè)平面的法向量為,

得,,即,

,則,,得.

,

所以,與平面所成角的正弦值的大小為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】近年來(lái),隨著我市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,政府對(duì)民生也越來(lái)越關(guān)注. 市區(qū)現(xiàn)有一塊近似正三角形土地ABC(如圖所示),其邊長(zhǎng)為2百米,為了滿足市民的休閑需求,市政府?dāng)M在三個(gè)頂點(diǎn)處分別修建扇形廣場(chǎng),即扇形DBEDAGECF其中、分別相切于點(diǎn)DE,且無(wú)重疊,剩余部分(陰影部分)種植草坪. 設(shè)BD長(zhǎng)為x(單位:百米,草坪面積為S(單位:百米2).

(1)試用x分別表示扇形DAGDBE的面積,并寫(xiě)出x的取值范圍;

(2)當(dāng)x為何值時(shí),草坪面積最大?并求出最大面積.

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【題目】已知函數(shù)

1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)證明:

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【題目】下列命題正確的是(

A.經(jīng)過(guò)任意三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.

B.過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與異面直線垂直.

C.一條直線與一個(gè)平面平行,它就和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行.

D.與平面相交,則公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為有限個(gè).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】十九大提出,加快水污染防治,建設(shè)美麗中國(guó).根據(jù)環(huán)保部門對(duì)某河流的每年污水排放量(單位:噸)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),得到如下頻率分布表:

將污水排放量落入各組的頻率作為概率,并假設(shè)每年該河流的污水排放量相互獨(dú)立.

(1)求在未來(lái)3年里,至多1年污水排放量的概率;(2)該河流的污水排放對(duì)沿河的經(jīng)濟(jì)影響如下:當(dāng)時(shí),沒(méi)有影響;當(dāng)時(shí),經(jīng)濟(jì)損失為10萬(wàn)元;當(dāng)時(shí),經(jīng)濟(jì)損失為60萬(wàn)元.為減少損失,現(xiàn)有三種應(yīng)對(duì)方案:

方案一:防治350噸的污水排放,每年需要防治費(fèi)3.8萬(wàn)元;

方案二:防治310噸的污水排放,每年需要防治費(fèi)2萬(wàn)元;

方案三:不采取措施.

試比較上述三種文案,哪種方案好,并請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】質(zhì)檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分別隨機(jī)抽取100桶檢測(cè)某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo),由檢測(cè)結(jié)果得到如圖的頻率分布直方圖:

(I)寫(xiě)出頻率分布直方圖(甲)中的值;記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為,試比較的大小(只要求寫(xiě)出答案);

(Ⅱ)佑計(jì)在甲、乙兩種食用油中各隨機(jī)抽取1桶,恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20,且另—個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)不大于20的概率;

(Ⅲ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,乙種食用油的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,設(shè)表示從乙種食用油中隨機(jī)抽取10桶,其質(zhì)量指標(biāo)值位于(14.55, 38.45)的桶數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.

注:①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,計(jì)算得

②若,則,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若、是兩個(gè)相交平面,則在下列命題中,真命題的序號(hào)為( )

若直線,則在平面內(nèi)一定不存在與直線平行的直線.

若直線,則在平面內(nèi)一定存在無(wú)數(shù)條直線與直線垂直.

若直線,則在平面內(nèi)不一定存在與直線垂直的直線.

若直線,則在平面內(nèi)一定存在與直線垂直的直線.

A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④

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【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有云:“有木長(zhǎng)三丈,圍之八尺,葛生其下,纏木兩周,上與木齊,問(wèn)葛長(zhǎng)幾何?”意思為:圓木長(zhǎng)3丈,圓周為8尺,葛藤?gòu)膱A木的底部開(kāi)始向上生長(zhǎng),繞圓木兩周,剛好頂部與圓木平齊,問(wèn)葛藤最少長(zhǎng)幾尺(注:1丈即10尺)?該問(wèn)題的答案為34.若圓木長(zhǎng)為3尺,圓周為2尺,同樣繞圓木兩周剛好頂部與圓木平齊,那葛藤最少又是長(zhǎng)( )尺?

A.34B.5C.6D.4

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【題目】為了釋放學(xué)生壓力,某校高三年級(jí)一班進(jìn)行了一個(gè)投籃游戲,其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽(每人各投一次為一輪).在相同的條件下,每輪甲乙兩人站在同一位置,甲先投,每人投一次籃,兩人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;兩人都命中或都未命中,兩人均得0.設(shè)甲每次投籃命中的概率為,乙每次投籃命中的概率為,且各次投籃互不影響.

1)經(jīng)過(guò)1輪投籃,記甲的得分為,求的分布列及期望;

2)用表示經(jīng)過(guò)第輪投籃后,甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的概率,求.

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