Question

本小題滿分13分）已知橢圓（）的右焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓的離心率．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線（）與橢圓交于不同的兩點，，以線段為直徑作圓．若圓與軸相切，求直線被圓所截得的弦長．

Answer 1

(I)；（2）.

【解析】

試題分析：（1）拋物線的焦點坐標為,得到；

根據橢圓的離心率，得到

即可得到橢圓方程.

（2）由題意知，圓心為線段中點，且位于軸的正半軸，

設的坐標為

根據圓與軸相切，不妨設點在第一象限，又，得到

進一步得到圓心、半徑、圓的方程

根據圓心到直線的距離

利用“圓的特征三角形”確定被圓所截得的弦長.

試題解析：（1）因為拋物線的焦點坐標為，所以 2分

又橢圓的離心率，所以

所以橢圓方程為： 5分

（2）由題意知，圓心為線段中點，且位于軸的正半軸，

故設的坐標為

因為圓與軸相切，不妨設點在第一象限，又，所以

解得 8分

圓心,半徑

圓的方程為： 10分

又圓心到直線的距離

所以，直線被圓所截得的弦長為：

13分

考點：1.橢圓的標準方程及其幾何性質；2.拋物線的幾何性質；3.直線與圓的位置關系.

考點分析： 考點1：橢圓的標準方程 考點2：橢圓的幾何性質 試題屬性

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