Question

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，對任意a，b∈[-1，1]，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，試比較f（a），f（b）的大小；
（2）不等式f（3x）＜f（2x+1）．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由a＞b，得

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，所以f（a）+f（-b）＞0，由f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，能得到f（a）＞f（b）；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可去掉符號“f”，轉(zhuǎn)化為具體不等式，注意考慮函數(shù)的定義域．

解答： 解：（1）∵對任意a，b∈[-1，1]，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
∴

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，
∵a＞b，∴a-b＞0，
∴f（a）+f（-b）＞0，
∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）＞0，
即有f（a）＞f（b）；
（2）∵f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
則不等式f（3x）＜f（2x+1）即為

-1≤3x≤1 -1≤2x+1≤1 3x＜2x+1

，即

- 1 3 ≤x≤ 1 3 -1≤x≤0 x＜1

，
解得-1≤x≤0，
故原不等式解集為[-1，0]．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用以及單調(diào)性的判斷、單調(diào)性的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查抽象不等式的求解，抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷一般利用定義解決．