Question

20．已知命題p：?x∈（a，+∞），x+$\frac{9}{x-a}$≥7恒成立；命題q：函數(shù)f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x，在[2，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）若命題p為真命題，求a的取值范圍；
（2）證明：命題p為真命題是命題q為真命題的充分不必要條件．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合基本不等式的性質(zhì)，求出命題p為真時(shí)的a的范圍；
（2）先求出命題q為真時(shí)的a的范圍，結(jié)合p的范圍，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）命題p：?x∈（a，+∞），x+$\frac{9}{x-a}$≥7恒成立；
即x-a+$\frac{1}{x-a}$+a≥2+a≥7恒成立，
故a≥-5，當(dāng)且僅當(dāng)x=a+1時(shí)“=”成立，
故命題p是真命題時(shí)：a≥5；
（2）命題q：函數(shù)f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x，在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
則f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（2a+1）=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$≥0在[2，+∞）單調(diào)遞增，
∴2ax-1≥0在[2，+∞）單調(diào)遞增，
∴a≥$\frac{1}{2x}$在[2，+∞）單調(diào)遞增，
∴a≥${（\frac{1}{2x}）}_{max}$=$\frac{1}{4}$；
故若命題q是真命題，則a≥$\frac{1}{4}$；
結(jié)合（1）得：
命題p為真命題是命題q為真命題的充分不必要條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了充分必要條件，考查考查函數(shù)恒成立問題，基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．