Question

已知函數f（x）=|cosx|•sinx給出下列五個說法：
①f（

2014π

3

）=-

3

4

；
②若|f（x₁）=|f（x₂）|，則x₁=x₂+kπ（k∈Z）；
③f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上單調遞增；
④函數f（x）的周期為π；
⑤f（x）的圖象關于點（-

π

2

，0）成中心對稱．
其中正確說法的序號是

 

．

Answer 1

考點：二倍角的正弦

專題：探究型,三角函數的圖像與性質

分析：①f（

2014π

3

）=|cos

2014π

3

|•sin

2014π

3

=

3

2

•(-

1

2

)=-

3

4

；
②若|f（x₁）=|f（x₂）|，即|

1

2

sin2x₁|=|

1

2

sin2x₂|，列舉反例x₁=0，x₂=

π

2

時也成立；
③在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上，f（x）=|cosx|•sinx=

1

2

sin2x，單調遞增；
④由f（x+π）≠f（x），可得函數f（x）的周期不是π；
⑤由函數f（x）=|cosx|•sinx，可得函數是奇函數．

解答： 解：①f（

2014π

3

）=|cos

2014π

3

|•sin

2014π

3

=

3

2

•(-

1

2

)=-

3

4

，正確；
②若|f（x₁）=|f（x₂）|，即|

1

2

sin2x₁|=|

1

2

sin2x₂|，則x₁=0，x₂=

π

2

時也成立，故②不正確；
③在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上，f（x）=|cosx|•sinx=

1

2

sin2x，單調遞增，正確；
④∵f（x+π）≠f（x），∴函數f（x）的周期為π，不正確；
⑤∵函數f（x）=|cosx|•sinx，∴函數是奇函數，∴f（x）的圖象關于點（0，0）成中心對稱，點（-

π

2

，0）不是函數的對稱中心，故不正確．
故答案為：①③．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握二倍角公式，以及三角函數的有關性質（單調性，周期性，奇偶性，對稱性等）．