Question

方程cos（x-

π

2

）=0在（0，

π

2

）上的根為m，函數(shù)f（x）=sinx-

2x

π

（1）求證：當0＜x＜

π

2

時，sinx＞

2x

π

；
（2）求函數(shù)在區(qū)間[-π，2π]上的最大值和最小值（用m表示）．
（3）當[-3π，π]時方程f（x）=a有三個不同的實根，求a的范圍（用m表示）．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：導數(shù)的綜合應用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，由已知方程的根確定導函數(shù)的零點，然后利用導函數(shù)的符號得到原函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性，求出最小值，由閉區(qū)間上的最小值等于0得開區(qū)間上的不等式成立；
（2）由函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)的象限符號及已知方程的根得到原函數(shù)導函數(shù)的零點，然后分析單調(diào)性與極值點，從而求得極值；
（3）由函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)的象限符號及已知方程的根得到原函數(shù)導函數(shù)的零點，由零點對定義域分段后判斷單調(diào)性，并求得在不同區(qū)間段內(nèi)的極值，結(jié)合函數(shù)的值域與單調(diào)性得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinx-

2x

π

，∴f′(x)=cosx-

2

π

，
由于f'（0）＞0，f′(

π

2

)=-

2

π

＜0，并且f'（x）=0僅有一個根m，那么在區(qū)間（0，m）上f（x）嚴格遞增，在區(qū)間(m，

π

2

)上嚴格遞減．
這樣f（x）在[0，

π

2

]上的最小值為min{f（0），f（π/2}}=0，亦即當0＜x＜

π

2

時，sinx＞

2x

π

；
（2）現(xiàn)在考慮cosx-

2

π

=0在[-π，2π]中根的個數(shù)，
∵cos（-x）=cosx，∴方程cos（x-

π

2

）=0在(-

π

2

，0)上有一個根-m；
由于cosx在(-π，-

π

2

]以及[

π

2

，

3π

2

]中小于等于0，∴方程在此區(qū)間不可能有根；
∵cos（2π-x）=cosx，∴方程在(

3π

2

，2π]中有一個根2π-m．
綜上，我們得到方程cosx-

2

π

=0在[-π，2π]中有3個根{-m，m，2π-m}．
討論極大極小值如下表：

于是我們得到極大值為f（m），極小值為f（-m）和f（2π-m）；
（3）仿照（2）的討論方法，我們可以得到在[-3π，π]中cosx-

2

π

=0有四個根m，-m，-2π+m，-2π-m．
極大極小值討論如下表：

在各區(qū)間上對應值域為：[4+

2m

π

-sin（m），6]，[4+

2m

π

-sin（m），4-

2m

π

2m/π+sin（m）]，
[

2m

π

-sin（m），4-

2m

π

+sin（m））]，[

2m

π

-sin（m），-

2m

π

+sin（m）]，[-2，-

2m

π

+sin（m）]．
由4+

2m

π

-sin（m）＞-

2m

π

+sin（m）以及值域和函數(shù)的增減性，我們就能確定函數(shù)圖象的走勢，
∴a的范圍是[4+

2m

π

-sin（m），4-

2m

π

+sin（m）]∪[

2m

π

-sin（m），-

2m

π

+sin（m）]．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，訓練了分類討論的數(shù)學思想方法，考查了學生靈活處理復雜問題的能力，是難度較大的題目．