Question

4．設(shè)a＞0且a≠1，求函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+${a}^{\frac{x}{2}}$）-a${\;}^{\frac{x+1}{2}}$（x∈[0，+∞））的值域．

Answer 1

分析 換元配方得出令t=a${\;}^{\frac{x}{2}}$，則y=$\frac{1}{2}{t}^{2}$$+\frac{1}{2}t$$-t\sqrt{a}$=$\frac{1}{2}$（t-$\sqrt{a}$）²，利用二次函數(shù)分類(lèi)討論．

解答 解：a＞0且a≠1，求函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+${a}^{\frac{x}{2}}$）-a${\;}^{\frac{x+1}{2}}$（x∈[0，+∞））
令t=a${\;}^{\frac{x}{2}}$，則y=$\frac{1}{2}{t}^{2}$$+\frac{1}{2}t$$-t\sqrt{a}$=$\frac{1}{2}$t²+（$\frac{1}{2}-$$\sqrt{a}$）t，對(duì)稱(chēng)軸t=$\sqrt{a}$$-\frac{1}{2}$，
當(dāng)0$＜a≤\frac{1}{4}$時(shí)，$\sqrt{a}$$-\frac{1}{2}$＜0，t∈（0，1]，值域（0，1-$\sqrt{a}$]，
當(dāng)$\frac{1}{4}$＜a＜1時(shí)，0＜$\sqrt{a}$$-\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$，t∈（0，1]，值域[-（$\sqrt{a}$$-\frac{1}{2}$）²，1-$\sqrt{a}$]
當(dāng)a＞1時(shí)，t≥1，
當(dāng)a$≥\frac{9}{4}$時(shí)，$\sqrt{a}$$-\frac{1}{2}$≥1，值域[-（$\sqrt{a}$$-\frac{1}{2}$）²，+∞）
當(dāng)1$＜a＜\frac{9}{4}$時(shí)，$\sqrt{a}$$-\frac{1}{2}$＜1，值域[1-$\sqrt{a}$，+∞]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了運(yùn)用換元，分類(lèi)討論求解指數(shù)類(lèi)型的函數(shù)的值域問(wèn)題，考查了學(xué)生度二次函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題．