Question

經(jīng)過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為．點、在軌跡上，且關(guān)于軸對稱，過線段（兩端點除外）上的任意一點作直線，使直線與軌跡在點處的切線平行，設(shè)直線與軌跡交于點、．

（1）求軌跡的方程；

（2）證明：；

（3）若點到直線的距離等于，且△的面積為20，求直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）方法1是利用直接法，設(shè)動點坐標(biāo)為，根據(jù)題中條件列式并化簡進(jìn)而求出動點的軌跡方程；方法2是將問題轉(zhuǎn)化為圓心到定點的距離等于點到定直線的距離，利用拋物線的定義寫出軌跡的方程；（2）由于軸，利用直線與直線的斜率互為相反數(shù)證明；（3）方法1是先將的方程與拋物線的方程聯(lián)立求出點的坐標(biāo)，并根據(jù)一些幾何性質(zhì)求出、，并將的面積用點的坐標(biāo)表示以便于求出點的坐標(biāo)，結(jié)合點的坐標(biāo)求出直線的方程；方法2是利用（2）中的條件與結(jié)論，利用直線確定點和點坐標(biāo)之間的關(guān)系，借助弦長公式求出、，并將的面積用點的坐標(biāo)表示以便于求出點的坐標(biāo)，結(jié)合點的坐標(biāo)求出直線的方程.

試題解析：（1）方法1：設(shè)動圓圓心為，依題意得，．        1分

整理，得．所以軌跡的方程為．                   2分

方法2：設(shè)動圓圓心為，依題意得點到定點的距離和點到定直線的距離相等，

根據(jù)拋物線的定義可知，動點的軌跡是拋物線．                    1分

且其中定點為焦點，定直線為準(zhǔn)線．

所以動圓圓心的軌跡的方程為．    2分

（2）由（1）得，即，則．

設(shè)點，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為

．          3分

由題意知點．設(shè)點，，

則，

即．                  4分

因為，．           5分

由于，即．         6分

所以．                               7分

（3）方法1：由點到的距離等于，可知．            8分

不妨設(shè)點在上方（如圖），即，直線的方程為：．

由

解得點的坐標(biāo)為．                       10分

所以．

由（2）知，同理可得．            11分

所以△的面積，

解得．                                   12分

當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，，

直線的方程為，即．                13分

當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，，

直線的方程為，即．               14分

方法2：由點到的距離等于，可知．             8分

由（2）知，所以，即．

由（2）知，．

所以．

即．        ①

由（2）知．           ②

不妨設(shè)點在上方（如圖），即，由①、②解得          10分

因為，

同理．                               11分

以下同方法1．

考點：直接法求軌跡方程，拋物線的定義，函數(shù)圖象的切線方程的求解，斜率公式、弦長公式