【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,橢圓C和拋物線y2=x交于M,N兩點(diǎn),且直線MN恰好通過橢圓C的右焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)經(jīng)過橢圓C右焦點(diǎn)的直線l和橢圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且 =2 ,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求直線l的斜率.

【答案】
(1)解:由橢圓的離心率e= = ,a= c,

由b2=a2﹣c2,則b=c,

設(shè)a=2λ,b=c= λ,λ>0,

橢圓C和拋物線y2=x交于M,N兩點(diǎn),且直線MN恰好通過橢圓C的右焦點(diǎn),

∴M(c, ),代入橢圓中得: + =1,即 + =1,解得:λ= ,∴a=2 ,b=c=2,

故橢圓方程為:


(2)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則 =(x1,y1), =(x0﹣x2,y0﹣y2),

=2

∴(x1,y1)=2(x0﹣x2,y0﹣y2

,

由于A,B,P均在橢圓x2+2y2=8上,

①, ②, ③;

由③可知: )+( )+(x1x2+2y1y2)=8,

將第①②代入上式得:x1x2+2y1y2=﹣2,④

由直線l的斜率不為零,設(shè)直線l方為x=my+2,

,整理得:(m2+2)y2+4my﹣4=0,

由韋達(dá)定理y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣

將④變形為:(my1+2)(my2+2)+2y1y2=﹣2,

即(m2+2)y1y2+2m(y1+y2)+6=0,

∴2﹣ =0,解得:m2= ,m=± ,

∵直線的斜率k=

故直線l的斜率為±


【解析】(1)由題意可知:e= 知,即a= c,則b=c,設(shè)a=2λ,b=c= λ,λ>0,將M(c, ),代入,即可求得λ的值,求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)由題意可知?jiǎng)t =(x1 , y1), =(x0﹣x2 , y0﹣y2), =2 ,即(x1 , y1)=2(x0﹣x2 , y0﹣y2),由于A,B,P均在橢圓x2+2y2=8上,則 ,整理可得:x1x2+2y1y2=﹣2,設(shè)直線l方為x=my+2,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理可知代入可知:2﹣ =0,解得m的值,直線l的斜率為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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年份(年)

5

6

7

8

投資金額(萬元)

15

17

21

27

(Ⅰ)利用所給數(shù)據(jù),求出投資金額與年份之間的回歸直線方程

(Ⅱ) 預(yù)測(cè)該社區(qū)在2019年在“文化丹青”上的投資金額.

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(1)求圓的方程;

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(3)過點(diǎn)作動(dòng)直線交圓,兩點(diǎn).試問:在以為直徑的所有圓中,是否存在這樣的圓,使得圓經(jīng)過點(diǎn)?若存在,求出圓的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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