Question

【題目】已知圓經(jīng)過點(diǎn)A（－2，0），B（0，2），且圓心在直線y＝x上，又直線l：y＝kx＋1與圓相交于P、Q兩點(diǎn)．

（1）求圓的方程；

（2）若，求實(shí)數(shù)k的值；

（3）過點(diǎn)作動直線交圓于，兩點(diǎn)．試問：在以為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓，使得圓經(jīng)過點(diǎn)？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在圓或，使得圓經(jīng)過點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出圓心和半徑，列出和的方程，求得圓的方程；（2）根據(jù),

求得，所以圓心到直線的距離為，求得的值；（3）若圓經(jīng)過點(diǎn)，則必有即①，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然滿足題意得圓，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，直線的方程為：，代入圓的方程，由韋達(dá)定理，得到的值，聯(lián)立①解得的值，存在所求的圓，進(jìn)而得到所求的圓的方程.

試題解析：（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r.因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)A（－2,0），B（0,2），所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圓C的方程是. 3分

（2）因?yàn)?/span>·＝2×2×cos〈，〉＝－2，且與的夾角為∠POQ，

所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，所以圓心C到直線l：kx－y＋1＝0的距離d＝1，

又d＝，所以. 7分

（聯(lián)立直線與圓的方程求解酌情給分）

（3）（ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線經(jīng)過圓的圓心，此時(shí)直線與圓的交點(diǎn)為，，即為圓的直徑，而點(diǎn)在圓上，即圓也是滿足題意的圓 8分

（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由，

消去整理，得，由△，得或．

設(shè)，則有① 9分

由①得， ②

， ③

若存在以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，

因此，即， 10分

則，所以，，滿足題意． 12分

此時(shí)以為直徑的圓的方程為，

即，亦即． 13分

綜上，在以為直徑的所有圓中，存在圓：或

，使得圓經(jīng)過點(diǎn)． 14分