如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱的長度都是1，M是BC邊的中點，P是AA1邊上的點，且PA=
6
4
．
（1）求：點P到棱BC的距離；
（2）問：在側(cè)棱CC1上是否存在點N，使得異面直線AB1與MN所成角為45°？若存在，請說明點N的位置；若不存在，請說明理由；
（3）定義：如果平面α經(jīng)過線段AA′的中點，并與線段AA′垂直，則稱點A關(guān)于平面α的對稱點為點A′．設(shè)點A關(guān)于平面PBC的對稱點為A′，求：點A′到平面AMC1的距離．
分析：（1）以A為原點，以AB順時針旋轉(zhuǎn)30°得到的直線為x軸，以AC為y軸，以AA1為z軸，建立空間直角坐標系，則
BP
=(-
3
2
，-
1
2
，
6
4
)，
BC
=(-
3
2
，
1
2
，0)，由向量法能求出點P到棱BC的距離．
（2）設(shè)在側(cè)棱CC1上是否存在點N（0，0，z），使得異面直線AB1與MN所成角為45°，由M是BC邊的中點，知
NM
=(
3
4
，
3
4
，-z)，
AB1
=(
3
2
，
1
2
，1)，由異面直線AB1與MN所成角為45°，知cos45°=
3
8
+
3
8
-z
z2+
3
4
•
2
，解得z=-
1
8
，不合題意．故在側(cè)棱CC1上是不存在點N．
（3）設(shè)平面PBC的平面方程為Ax+By+Cz+D=0，由P（0，0，
6
4
），C（0，1，0），B（
3
2
，
1
2
，0），知
6
4
C+D=0
B+D=0
3
2
A+
1
2
B+D=0
，故平面PBC的平面方程為x+
3
y+2
2
z-
3
=0，過點A（0，0，0）且垂直于平面PBC的直線方程是：
x
1
=
y
3
=
z
2
2
，令
x
1
=
y
3
=
z
2
2
=t，得到點A（0，0，0）且垂直于平面PBC的直線與平面的交點是（
3
12
，
1
4
，
6
6
），從而得到A′(
3
6
，
1
2
，
6
3
)．由此能求出點A′到平面AMC1的距離．
解答：解：（1）以A為原點，以AB順時針旋轉(zhuǎn)30°得到的直線為x軸，
以AC為y軸，以AA1為z軸，建立空間直角坐標系，
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱的長度都是1，
P是AA1邊上的點，且PA=
6
4
．
∴P（0，0，
6
4
），C（0，1，0），B（
3
2
，
1
2
，0），
∴
BP
=(-
3
2
，-
1
2
，
6
4
)，
BC
=(-
3
2
，
1
2
，0)，
∴點P到棱BC的距離d=|
BP
|•
1-(cos＜
BP
，
BC
＞)2

=
22
4
•
1-(
2
22
)2

=
3
2
4
．
（2）設(shè)在側(cè)棱CC1上是否存在點N（0，0，z），使得異面直線AB1與MN所成角為45°，
∵M是BC邊的中點，
∴M（
3
4
，
3
4
，0），A（0，0，0），B1(
3
2
，
1
2
，1)，
∴
NM
=(
3
4
，
3
4
，-z)，
AB1
=(
3
2
，
1
2
，1)，
∵異面直線AB1與MN所成角為45°，
∴cos45°=
3
8
+
3
8
-z
z2+
3
4
•
2
，
整理，得
3
4
-z
z2+
3
4
=1，
解得z=-
1
8
，不合題意．
∴在側(cè)棱CC1上是不存在點N．
（3）∵P（0，0，
6
4
），C（0，1，0），B（
3
2
，
1
2
，0），
設(shè)平面PBC的平面方程為Ax+By+Cz+D=0，
則
6
4
C+D=0
B+D=0
3
2
A+
1
2
B+D=0
，
∴C=-
2
6
3
D，B=-D，A=-
3
3
D，
∴平面PBC的平面方程為-
3
3
Dx-Dy-
2
6
3
Dz+D=0，
即x+
3
y+2
2
z-
3
=0，
過點A（0，0，0）且垂直于平面PBC的直線方程是：
x
1
=
y
3
=
z
2
2
，
令
x
1
=
y
3
=
z
2
2
=t，
則x=t，y=
3
t，z=2
2
t，
代入平面方程x+
3
y+2
2
z-
3
=0，
得t+3t+8t-
3
=0，
解得t=
3
12
，
∴過點A（0，0，0）且垂直于平面PBC的直線與平面的交點是（
3
12
，
1
4
，
6
6
），
∴設(shè)點A關(guān)于平面PBC的對稱點A′（x，y，z），
則x=2×
3
12
=
3
6
，y=2×
1
4
=
1
2
，z=2×
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，若二面角C-AB-C1的大小為60°，則點C到平面C1AB的距離為（　�。�
A、
3
4
B、
1
2
C、
3
2
D、1

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如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1CC1所成的角為a，則sina=
 
．

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（Ⅰ）在棱B1C1上是否存在點F使GF∥DE？如果存在，試確定它的位置；如果不存在，請說明理由；
（Ⅱ）求截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值；
（Ⅲ）求B1到截面DEG的距離．

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精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=4，AB=2，M是AC的中點，點N在AA1上，AN=
14
．
（Ⅰ）求BC1與側(cè)面ACC1A1所成角的大��；
（Ⅱ）求二面角C1-BM-C的正切值；
（Ⅲ）證明MN⊥BC1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•馬鞍山二模）如圖，在正三棱柱ABC一DEF中，AB=2，AD=1，P是CF的延長線上一點，過A、B、P三點的平面交FD于M，交EF于N．
（I）求證：MN∥平面CDE：
（II）當平面PAB⊥平面CDE時，求三梭臺MNF-ABC的體積．

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同步練習冊答案