Question

（2006•崇文區(qū)一模）某足球賽事中甲乙兩只球隊(duì)進(jìn)入決賽，但乙隊(duì)明顯處于弱勢，乙隊(duì)為爭取勝利，決定采取這樣的戰(zhàn)術(shù)：頑強(qiáng)防守，0：0逼平甲隊(duì)進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn)．假設(shè)在點(diǎn)球大戰(zhàn)中雙方每名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)球概率均為

3

4

．現(xiàn)規(guī)定：點(diǎn)球大戰(zhàn)中每隊(duì)各出5名隊(duì)員，且每名隊(duì)員都各踢一球，求：
（I）乙隊(duì)以4：3點(diǎn)球取勝的概率有多大？
（II）設(shè)點(diǎn)球中乙隊(duì)得分為隨機(jī)變量ξ，求乙隊(duì)在五個(gè)點(diǎn)球中得分ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式以及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式進(jìn)行求解即可；
（II）點(diǎn)球中乙隊(duì)得分為隨機(jī)變量ξ的取值可能為0，1，2，3，4，5，然后根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式分別求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：（I）乙隊(duì)以4：3點(diǎn)球取勝的概率為P=

C

4 5

(

3

4

) 4(

1

4

)1

C

3 5

(

3

4

)3(

1

4

)2=25×

81×27

219

=0.1043
（II）點(diǎn)球中乙隊(duì)得分為隨機(jī)變量ξ的取值可能為0，1，2，3，4，5
P（ξ=0）=

C

0 5

(

3

4

)0(

1

4

)5=

1

210

，P（ξ=1）=

C

1 5

(

3

4

)1(

1

4

)4=

15

210

，P（ξ=2）=

C

2 5

(

3

4

)2(

1

4

)3=

45

29

P（ξ=3）=

C

3 5

(

3

4

)3(

1

4

)2=

135

29

，P（ξ=3）=

C

4 5

(

3

4

)4(

1

4

)1=

405

210

，P（ξ=5）=

C

5 5

(

3

4

)5(

1

4

)0=

243

210

∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 210	15 210	45 29	135 29	405 210	243 210

∴Eξ=0×

1

210

+1×

15

210

+2×

45

29

+3×

135

29

+4×

405

210

+5×

243

210

=3.75

點(diǎn)評：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望和分布列，以及二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．