Question

18．△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c=acosB+bsinA．
（Ⅰ）求A
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用正弦定理和誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式，同角的商數(shù)關(guān)系，計(jì)算即可得到所求；
（Ⅱ）由三角形的面積公式，余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinC=sinAcosB+sinBsinA ①
又A+B+C=π，故有sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB ②
由 ①②得sinA=cosA即tanA=1，
又$A∈（0，π）∴A=\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）△ABC的面積為$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{2}}}{4}bc$，
又已知及余弦定理可得$4={b^2}+{c^2}-2bccosA≥2bc-2bccosA=（2-\sqrt{2}）bc$，
∴$bc≤\frac{4}{{2-\sqrt{2}}}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立，
∴$面積S=\frac{1}{2}•bcsinA≤\sqrt{2}+1$，
即面積最大值為$\sqrt{2}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用，同時(shí)考查三角函數(shù)的恒等變換公式的運(yùn)用，屬于中檔題．