Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，已知a₃=5，S₉=81，
①求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
②設(shè)bn=2an，證明{b_n}是等比數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和T_n．
③設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n} 的前n項(xiàng)的和M_n．

Answer 1

分析：①由等差數(shù)列中，a₃=5，S₉=81，利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組

a1+2d=5 9a1+ 9×8 2 d=81

，求出a₁=1，d=2，由此能求出a_n=2n-1．
②由bn=2an，知bn=2^2n-1=

1

2

×4n，由此能夠證明{b_n}是以2以道貌岸然項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列．并能求出其前n項(xiàng)和T_n．
③由c_n=a_n•b_n=（2n-1）•

1

2

×4n，知M_n=（2-1）•

1

2

×4+（2×2-1)•

1

2

×42•

1

2

×42+（2×3-1）•

1

2

×43+…+[2(n-1)-1]•

1

2

×4n-1+（2n-1）•

1

2

×4ⁿ，由錯(cuò)位相減法能夠求出數(shù)列{c_n} 的前n項(xiàng)的和M_n．

解答：解：①∵等差數(shù)列，a₃=5，S₉=81，
∴

a1+2d=5 9a1+ 9×8 2 d=81

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
②∵bn=2an，
∴bn=2^2n-1=

1

2

×4n，
b1=

1

2

×4=2，bn-1=

1

2

×4n-1，

bn

bn-1

=4，
∴{b_n}是以2以道貌岸然項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列．
T_n=

2(1-4n)

1-4

=

2

3

(4n-1)．
③∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•

1

2

×4n，
∴M_n=（2-1）•

1

2

×4+（2×2-1)•

1

2

×42•

1

2

×42+（2×3-1）•

1

2

×43+…+[2(n-1)-1]•

1

2

×4n-1+（2n-1）•

1

2

×4ⁿ，
4Mn=(2-1)•

1

2

×42+(2×2-1)•

1

2

×43+(2×3-1)•

1

2

×44+…+[2(n-1)-1]•

1

2

×4n+（2n-1）•

1

2

×4ⁿ⁺¹，
∴-3Mn=2+42+43+…+4n-(2n-1)•

1

2

×4ⁿ⁺¹
=2+

16(1-4n-1)

1-4

-（2n-1）•

1

2

×4n+1
=2+

16

3

(4n-1-1)-(4n-2)•4n，
∴Mn=-

2

3

-

16

9

+

(4n-2)•4n

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等比數(shù)列的證明，前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯(cuò)位相減求和法的靈活運(yùn)用．