Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，且點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為， 與的公共弦長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，求解的值，進(jìn)而得到橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即，又由兩曲線(xiàn)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程，即可求得的值，得到橢圓的方程；

（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，此時(shí)的方程為代入橢圓的方程，求得，進(jìn)而求得此時(shí)的值，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)的方程為，

設(shè)，代入橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及韋達(dá)定理的應(yīng)用，化簡(jiǎn)即可求解的值。

試題解析：（1）∵的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為得.

∵，解得，又為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，∴.

∵與的公共弦長(zhǎng)為， 與都關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

而的方程為，從而與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴②，

聯(lián)立①②解得，

∴的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸時(shí)， 的方程為代入求得，

∴，把代入求得，∴，

此時(shí).

當(dāng)與軸不垂直時(shí)，要使與有兩個(gè)交點(diǎn)，可設(shè)的方程為，

此時(shí)設(shè)

把直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立得，

消去化簡(jiǎn)得，

可得，

∴，

把直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立得，

消去化簡(jiǎn)得，

可得，

∴，

,

∵，∴，∴，

∴，

綜上可得的取值范圍是