Question

10．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，（x＜1）}\\{{e}^{x}，（x≥1）}\end{array}\right.$，若函數g（x）=f（x）-kx恰有一個零點，則k的取值范圍是（　　）

• A． （e，+∞）
• B． （-∞，e）
• C． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• D． [0，e）

Answer 1

分析 利用函數的零點，轉化為方程根，轉化為兩個函數的圖象的交點，求出一個零點，然后求解k的范圍即可．

解答 解：∵函數函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，（x＜1）}\\{{e}^{x}，（x≥1）}\end{array}\right.$，
∴f（0）=0，
∴x=0是函數y=f（x）-kx的一個零點，
函數g（x）=f（x）-kx恰有一個零點，可得：y=f（x）與y=kx的圖象如圖：
當x＜1時，由f（x）=kx，兩個函數只有一個交點，則k≤1；
當x≥1時，y=e^x，是增函數，x=1時，函數的最小值為：e，
可知k＜e．
f'（x）=e^x∈（1，+∞），
∴要使函數y=f（x）-kx在x＞0時有一個零點，
則k＞1，
∴k＞1，
即實數k的取值范圍是（-∞，e），
故選：B．

點評 本題考查的知識點是函數零點及零點的個數，二次函數的圖象和性質，指數型函數的圖象和性質，難度中檔．