Question

給出下列兩個命題，其中真命題為

 

①設(shè)M（x₀，y₀），E（

3

y₁，y₁），F(xiàn)（-

3

y₂，y₂），O（0，0）是平行四邊形OEMF的四個頂點(diǎn)，若y₀²=3x₀²-3，則

ME

•

MF

=-

1

2

．
②若對任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)y=1-

1

2x+t

（t為實(shí)常數(shù)）總有意義，則該函數(shù)的值域是（1-

1

t

，1）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：①根據(jù)OEMF為平行四邊形，得到

OE

=

FM

，帶入坐標(biāo)即可求得：

y1= y0 2 - x0 2 3 y2= y0 2 + x0 2 3

，帶入坐標(biāo)求出

ME

•

MF

，并帶入y₁，y₂，并根據(jù)條件y₀²=3x₀²-3，可求出

ME

•

MF

，這樣便可判斷命題①的真假了．
②根據(jù)已知條件可判斷出t＞0，所以由2^x的范圍：2^x＞0，能求2^x+t＞t，0＜

1

2x+t

＜

1

t

，從而求出y的范圍，也就求出了函數(shù)y的值域．

解答： 解：①由已知條件知：

OE

=(

3

y1，y1)，

FM

=(x0+

3

y2，y0-y2)，

ME

=(

3

y1-x0，y1-y0)，

MF

=(-

3

y2-x0，y2-y0)且

OE

=

FM

；
∴

3 y1=x0+ 3 y2 y1=y0-y2

；
∴

y1= y0 2 - x0 2 3 y2= y0 2 + x0 2 3

∴

ME

•

MF

=(

3

y1-x0)(-

3

y2-x0)+（y₁-y₀）（y₂-y₀）=

3

y2(-

3

y1)+y1y2=-2y1y2=

1

6

x02-

1

2

y02
又y02=3x02-3
∴

ME

•

MF

=-

4

3

x02+

3

2

≠-

1

2

∴①是假命題；
②由已知條件可知t＞0；
∴2x＞0，2x+t＞t，0＜

1

2x+t

＜

1

t

；
∴1-

1

t

＜1-

1

2x+t

＜1；
∴該函數(shù)的值域是(1-

1

t

，1)．
∴②是真命題．
故答案為：②．

點(diǎn)評：考查相等向量的幾何意義，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)的值域，函數(shù)的定義域．