Question

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+bx²+x的極值點(diǎn)是x=1和x=2．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[1，3]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′(x)=

a

x

+2bx+1，且

a+2b+1=0 a 2 +4b+1=0

，由此能求出a，b的值．
（2）由（1）知f′(x)=-

2

3x

-

x

3

+1=

-(x2-3x+2)

3x

=

-(x-1)(x-2)

3x

(x＞0)，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出在[1，3]上f（x）最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx+bx²+x，
∴f′(x)=

a

x

+2bx+1，
由題意得f'（1）=0=f'（2），
∴

a+2b+1=0 a 2 +4b+1=0

，解得∴

a=- 2 3 b=- 1 6

．
（2）由（1）知f(x)=-

2

3

lnx-

1

6

x2+x，
f′(x)=-

2

3x

-

x

3

+1=

-(x2-3x+2)

3x

=

-(x-1)(x-2)

3x

(x＞0)，
∴在（1，2）內(nèi)f'（x）＞0，
在（2，3）內(nèi)，f'（x）＜0，
∴在[1，2]上f（x）單調(diào)增，
在（2，3]上f（x）單調(diào)減，
∴在[1，3]上f（x）最大值是f(2)=

4

3

-

2

3

ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查實(shí)數(shù)的求法，考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值的求法、考利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)能力，分類討論等綜合解題能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．