Question

如圖，在四面體P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5，且D，E，F(xiàn)分別為BC，PC，AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)G，使得FG∥平面ADE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由勾股定理得AC⊥AB，由線面垂直得PA⊥AC．從而AC⊥平面PAB．由此能證明AC⊥PB．
（2）取PA中點(diǎn)G時，F(xiàn)G∥平面ADE．由D、E分別是棱BC、PC的中點(diǎn)，得DE∥PB從而PB∥平面ADE，由FG∥PB，又FG?平面ADE，能證明FG∥平面ADE．

解答： （1）證明：在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²
∴AC⊥AB，
又PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴PA⊥AC．又PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB．
而PB?平面PAB，∴AC⊥PB．
（2）解：取PA中點(diǎn)G時，F(xiàn)G∥平面ADE．
證明如下：
∵D、E分別是棱BC、PC的中點(diǎn)，
∴DE∥PB． 又PB?平面ADE，DE?平面ADE
∴PB∥平面ADE，
在棱PA上取中點(diǎn)G，連結(jié)FG，
∵F是AB中點(diǎn)，
∴FG∥PB，又FG?平面ADE，
∴FG∥平面ADE．

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查使直線與平面平行的點(diǎn)的位置的確定，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．