Question

6．甲袋有1個(gè)黑球，2個(gè)白球，乙袋中有3個(gè)白球，每次從兩袋中各取一個(gè)，交換放入另一袋中，求交換n次后，黑球仍在甲袋中的概率$\frac{1}{6}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)A_n表示事件交換n次后黑球仍在甲袋中，先利用全概率公式推導(dǎo)出P（A_n）=$\frac{1}{3}[1+P（{A}_{n-1}）]$，從而得到P（A_n）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$[P（A_n-1）-$\frac{1}{2}$]，由此利用等比數(shù)列的性質(zhì)能求出交換n次后，黑球仍在甲袋中的概率．

解答 解：設(shè)A_n表示事件交換n次后黑球仍在甲袋中，
P（A_n）=P（A_n-1）P（A_n|A_n-1）+P（$\overline{{A}_{n-1}}$）P（A_n|$\overline{{A}_{n-1}}$）
=$\frac{2}{3}P（{A}_{n-1}）+\frac{1}{3}[1-P（{A}_{n-1}）]$
=$\frac{1}{3}P（{A}_{n-1}）+\frac{1}{3}$，
∴P（A_n）=$\frac{1}{3}[1+P（{A}_{n-1}）]$，
∴P（A_n）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$[P（A_n-1）-$\frac{1}{2}$]，
由題意得P（A₁）=$\frac{2}{3}$，∴P（A₁）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
∴由等比數(shù)列性質(zhì)，得P（A_n）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴P（A_n）=$\frac{1}{6}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$+$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{6}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意全概率公式和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．