【題目】如圖,在底面為等邊三角形的斜三棱柱中, ,四邊形為矩形,過作與直線平行的平面于點.

(1)證明: ;

(2)若直線與底面所成的角為,求二面角的余弦值 .

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

(1)連接于點,連接,推導出,由四邊形為平行四邊形,得的中位線,從而的中點,由此能證明;

(2)過平面,垂足為,連接,以為坐標原點,分別以的方向為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角的余弦值.

解:(1)如圖,

連接于點,連接.

因為平面平面平面

平面,所以.

又四邊形為平行四邊形,

所以的中點,所以的中位線,所以的中點.

為等邊三角形,所以.

(2)過平面,垂足為,連接,設

.

因為直線與底面所成的角為,所以.

中,因為,

所以,.

平面平面

所以,

四邊形為矩形,所以,

因為,所以.

因為平面平面,所以

平面.

因為平面,所以.

為等邊三角形,所以的中點.

為坐標原點,分別以的方向為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖.

,,,.

因為

所以,

因為,

所以,

,

.

設平面的法向量為.

,得,

,得,

所以平面的一個法向量為.

設平面的法向量為

,得

,得,

所以平面的一個法向量為.

所以

因為所求二面角為鈍角,所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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表1

皰疹面積

頻數(shù)

30

40

20

10

表2

皰疹面積

頻數(shù)

10

25

20

30

15

(1)完成圖20-3和圖20-4所示的分別注射藥物后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖,并求注射藥物后皰疹面積的中位數(shù)

(2)完成下表所示的列聯(lián)表,并回答能否有99.9%的把握認為注射藥物后的皰疹面積與注射藥物的皰疹面積有差異.(的值精確到0.01)

皰疹面積小于

皰疹面積不小于

合計

注射藥物A

______

______

注射藥物B

______

______

合計

附:

P(

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k

2.706

3.811

5.021

6.635

10.828

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