Question

3．設二次函數y=x²+（a+1）²+|x+a-1|的最小值y_min＞5，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 先去掉絕對值，化為分段函數的形式，再分別讓兩段函數的最小值及分界點處的函數值均大于5，求實數a的取值范圍即可．

解答 解：二次函數y=x²+（a+1）²+|x+a-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x+{a}^{2}+a+2，x＜1-a\\{x}^{2}+x+{a}^{2}+3a，x≥1-a\end{array}\right.$，
若二次函數y=f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|的最小值y_min＞5，
有資格取最小值的就三個點，負二分之一，二分之一，1-a，只要這三個點的值均大于5就可以了，
即$\left\{\begin{array}{l}f（\frac{1}{2}）＞5\\ f（-\frac{1}{2}）＞5\\ f（1-a）＞5\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）}^{2}-\frac{1}{2}+{a}^{2}+a+2＞5\\{（-\frac{1}{2}）}^{2}-\frac{1}{2}+{a}^{2}+3a＞5\\（1-a）^{2}+（a+1）^{2}＞5\end{array}\right.$，
解得：a＜$\frac{-3-\sqrt{30}}{2}$，或a＞$\frac{-1+\sqrt{14}}{2}$

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．