Question

已知過(guò)函數(shù)f （x）=x²+bx上的點(diǎn)A（1，f（1））的切線為3x-y-1=0，數(shù)列{

1

f(n)

}的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N），則

lim

n→

∞

1

Sn•f(n)

=（　�。�

• A、1
• B、

  1

  3

• C、0
• D、不存在

Answer 1

分析：由過(guò)函數(shù)f （x）=x²+bx上的點(diǎn)A（1，f（1））的切線為3x-y-1=0可得f（x）=x²+x，可得

1

f(n)

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

所以Sn=

n

n+1

，

1

Sn•f(n)

=

1

n2

所以

lim

n→

∞

1

Sn•f(n)

=

lim

n→

∞

1

n2

=0．

解答：解：由題意可得
點(diǎn)A（1，f（1））在切線為3x-y-1=0上
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2）
又∵點(diǎn)A在函數(shù)f （x）=x²+bx上
∴b=1
∴f（x）=x²+x
∴

1

f(n)

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

∴Sn=

1

f(1)

+

1

f(2)

+… +

1

f(n)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

1

Sn•f(n)

=

1

n n+1 •(n2+n)

=

1

n2

lim

n→

∞

1

Sn•f(n)

=

lim

n→

∞ 

1

n2

=0
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查以函數(shù)在某點(diǎn)的切線為載體求得函數(shù)解析式，利用數(shù)列的裂項(xiàng)相消的方法求出數(shù)列的和，再求出其極限，是一道函數(shù)與數(shù)列相結(jié)合的綜合題，是高考考查的重點(diǎn)．