Question

【題目】以下關(guān)于圓錐曲線的命題中：

①雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn)；

②以拋物線的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的直線截拋物線所得的線段）為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線是相切的；

③設(shè)、為兩個定點(diǎn)，為常數(shù)，若，則動點(diǎn)的軌跡為雙曲線；

④過拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于、，則使它們的橫坐標(biāo)之和等于5的直線有且只有兩條；

以上命題正確的個數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①直接求解雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)再判斷即可.

②利用焦半徑公式分析即可.

③舉出反例判定即可.

④設(shè)過焦點(diǎn)的直線方程聯(lián)立拋物線分析即可.

對①, 雙曲線的焦點(diǎn)為,橢圓的焦點(diǎn)為

.故①正確.

對②,不妨設(shè)以拋物線的焦點(diǎn)弦端點(diǎn)為.則以焦點(diǎn)弦為直徑的圓的圓心.又圓的直徑,圓心到準(zhǔn)線的距離.故以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線是相切的.同理對任意開口的拋物線均成立.故②正確.

對③,當(dāng)時易得,故的軌跡為線段的中垂線.

對④, 設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)作直線,則.

設(shè)則橫坐標(biāo)之和.

故使它們的橫坐標(biāo)之和等于5的直線有且只有兩條.

故①②④正確,③錯誤.

故選：C