Question

已知0≤x≤1，f（x）=，f（x）的最小值為m．
（1）用a表示m；
（2）求m的最大值及此時(shí)a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過(guò)對(duì)a分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)即可求出；
（2）由表達(dá)式利用導(dǎo)數(shù)即可求出其最大值．
解答：解：（1）∵，
①當(dāng)a＞2時(shí)，，f^′（x）＜0，∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在x=1處取得最小值f（1）=1-a+=．
②當(dāng)0＜a＜2時(shí)，，令f^′（x）=0，解得x=，列表如下：
由表格可知：f（x）在x=處取得極小值，也是最小值．
③當(dāng)a=2時(shí)，在x∈[0，1]上，f^′（x）=2（x-1）≤0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，在x=1處取得最小值0．
綜上可知：m=．

（2）①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，m^′（a）==，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，m^′（a）＞0，函數(shù)m（a）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜a≤2時(shí)，m^′（a）＜0，函數(shù)m（a）單調(diào)遞減．
可知當(dāng)a=1時(shí)，m（a）取得極大值，也是最大值；
②當(dāng)a＞2時(shí)，m（a）=在（2，+∞）上單調(diào)遞減，m（a）＜m（2）=0．
綜上可知：只有當(dāng)a=1時(shí)，m（a）取得最大值．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．