Question

已知0≤x≤1，f（x）=x2-ax+

a

2

(a＞0)，f（x）的最小值為m．
（1）用a表示m；
（2）求m的最大值及此時a的值．

Answer 1

分析：（1）通過對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)即可求出；
（2）由表達(dá)式利用導(dǎo)數(shù)即可求出其最大值．

解答：解：（1）∵f′(x)=2x-a=2(x-

a

2

)，
①當(dāng)a＞2時，

a

2

＞1，f^′（x）＜0，∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在x=1處取得最小值f（1）=1-a+

a

2

=1-

a

2

．
②當(dāng)0＜a＜2時，0＜

a

2

＜1，令f^′（x）=0，解得x=

a

2

，列表如下：
由表格可知：f（x）在x=

a

2

處取得極小值f(

a

2

)=-

a2

4

+

a

2

，也是最小值．
③當(dāng)a=2時，在x∈[0，1]上，f^′（x）=2（x-1）≤0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，在x=1處取得最小值0．
綜上可知：m=

- a2 4 + a 2 ，當(dāng)0＜a≤2時 1- a 2 ，當(dāng)a＞2時

．

（2）①當(dāng)0＜a≤2時，m^′（a）=-

1

2

a+

1

2

=

1-a

2

，當(dāng)0＜a＜1時，m^′（a）＞0，函數(shù)m（a）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜a≤2時，m^′（a）＜0，函數(shù)m（a）單調(diào)遞減．
可知當(dāng)a=1時，m（a）取得極大值

1

4

，也是最大值；
②當(dāng)a＞2時，m（a）=1-

a

2

在（2，+∞）上單調(diào)遞減，m（a）＜m（2）=0．
綜上可知：只有當(dāng)a=1時，m（a）取得最大值

1

4

．

點(diǎn)評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．