Question

18．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為2，若異面直線AB₁與BC₁所成的角為60°，則該三棱柱的側棱長為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，分別取AB，B₁C₁，A₁B₁，BB₁的中點為E，F(xiàn)，G，H，設出正三棱柱的高，然后通過解三角形求得答案．

解答 解：如圖，

分別取AB，B₁C₁，A₁B₁，BB₁的中點為E，F(xiàn)，G，H，
連接EF，EH，F(xiàn)H，EG，F(xiàn)G，
設正三棱柱的高為2h，又底面邊長為2，
則$EH=FH=\sqrt{{h}^{2}+1}$，$EF=\sqrt{4{h}^{2}+1}$．
在三角形EHF中，由余弦定理可得：
EF²=EH²+FH²-2EH•FH•cos120°，
則$4{h}^{2}+1=2{h}^{2}+2-2（{h}^{2}+1）×（-\frac{1}{2}）$，解得：h=$\sqrt{2}$．
∴正三棱柱的高為$2\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了棱柱的結構特征，考查了異面直線所成角的概念，考查了余弦定理在解三角形中的應用，是中檔題．