Question

7．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=$\sqrt{3}$，AD₁=$\sqrt{5}$，AB₁=$\sqrt{7}$，則長方體的對角線AC₁長等于3．

Answer 1

分析 由已知通過解直角三角形求得長方體的另外兩條棱的長度，然后由長方體對角線的平方，等于過一個頂點的三條棱的平方和得答案．

解答 解：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由AA₁=$\sqrt{3}$，AD₁=$\sqrt{5}$，
得：${A}_{1}{{D}_{1}}^{2}=A{{D}_{1}}^{2}-A{{A}_{1}}^{2}=2$，
由AA₁=$\sqrt{3}$，AB₁=$\sqrt{7}$，
得：${A}_{1}{{B}_{1}}^{2}=A{{B}_{1}}^{2}-A{{A}_{1}}^{2}=4$．
∴$A{{C}_{1}}^{2}=A{{A}_{1}}^{2}+{A}_{1}{{D}_{1}}^{2}+{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}=3+2+4=9$．
則AC₁=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了棱柱的結構特征，關鍵是掌握長方體對角線的平方，等于過一個頂點的三條棱的平方和，是基礎題．