Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow$=（2cosθ，2sinθ），0＜θ＜π．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求角θ的大��；
（2）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$|，求sinθ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線得到方程，然后求出角θ的大�。�
（2）利用向量的模相等，得到關(guān)系式即可求解結(jié)果．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow$=（2cosθ，2sinθ），
$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，可得$\sqrt{3}$cosθ+sinθ=0，
可得tanθ=$-\sqrt{3}$，0＜θ＜π．
∴θ=$\frac{2π}{3}$．
（2）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$|，
可得：$\sqrt{{（-\frac{1}{2}+2cosθ）}^{2}+{（\frac{\sqrt{3}}{2}+2sinθ）}^{2}}$=$\sqrt{{（2cosθ）}^{2}+{（2sinθ）}^{2}}$=2．
${（-\frac{1}{2}+2cosθ）}^{2}+{（\frac{\sqrt{3}}{2}+2sinθ）}^{2}$=4．
可得$\frac{1}{4}$-2cosθ+$\frac{3}{4}$+2$\sqrt{3}$sinθ=0．
即$\sqrt{3}$sinθ-cosθ=-$\frac{1}{2}$．
sin²θ+cos²θ=1，
可得：4sin²θ+$\sqrt{3}$sinθ-$\frac{3}{4}$=0.0＜θ＜π．
解得sinθ=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量共線以及向量的模的求法，三角函數(shù)的化簡求值，考查計(jì)算能力．