Question

18．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（b＞a），若?x∈R，f（x）≥0恒成立，則$\frac{a+b+c}{b-a}$的最小值為3．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出∴$\left\{\begin{array}{l}{^{2}-4ac≤0}\\{a＞0}\\{b＞a}\end{array}\right.$即c$≥\frac{^{2}}{4a}$．根據(jù)代數(shù)運(yùn)算結(jié)合基本不等式得出$\frac{a+b+c}{b-a}$≥$\frac{[（b-a）+3a]^{2}}{4a（b-a）}$≥$\frac{4×（b-a）×3a}{4a（b-a）}$=3（b=c=4時(shí)等號(hào)成立）

解答 解：∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（b＞a），若?x∈R，f（x）≥0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{^{2}-4ac≤0}\\{a＞0}\\{b＞a}\end{array}\right.$即c$≥\frac{^{2}}{4a}$．
∴$\frac{a+b+c}{b-a}$≥$\frac{a+b+\frac{^{2}}{4a}}{b-a}$=$\frac{（2a+b）^{2}}{4a（b-a）}$=$\frac{[（b-a）+3a]^{2}}{4a（b-a）}$≥$\frac{4×（b-a）×3a}{4a（b-a）}$=3（b=c=4a時(shí)等號(hào)成立），
∴$\frac{a+b+c}{b-a}$的最小值為3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．