11．已知函數(shù)f（x）=x3-3ax2+4，若f（x）存在唯一的零點x0，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）．

分析 求導f′（x）=3x2-6ax=3x（x-2a）；從而分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而轉(zhuǎn)化為極值問題求解即可．

解答 解：∵f（x）=x3-3ax2+4，
∴f′（x）=3x2-6ax=3x（x-2a）；
當a=0時，f（x）=x3-3ax2+4在R上是增函數(shù)，
故f（x）存在唯一的零點；
當a＜0時，f（x）=x3-3ax2+4在（-∞，2a）上是增函數(shù)，
（2a，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)；
而且f（0）=4，f（x）存在唯一的零點；
當a＞0時，f（x）=x3-3ax2+4在（-∞，0）上是增函數(shù)，
（0，2a）上是減函數(shù)，在（2a，+∞）上是增函數(shù)；
而且f（0）=4，
故只需使f（2a）=8a3-12a3+4＞0，
解得，a＜1；
綜上所述，
實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，點D為橢圓E上任意一點．△DF1F2面積最大值為1，橢圓離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)T為直線x=2上任意一點，過右焦點F2，作直線TF2的垂線交橢圓E于點P、Q，線段PQ的中點為N，
     證明：O、N、T三點共線（其中O為坐標原點）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．某大學志愿者協(xié)會有10名同學，成員構(gòu)成如下表，其中表中部分數(shù)據(jù)不清楚，只知道從這10名同學中隨機抽取一位，抽到該名同學為“數(shù)學專業(yè)”的概率為$\frac{2}{5}$．
    專業(yè)
性別		中文英語數(shù)學體育
男n1m1
女1111
現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學參加社會公益活動（每位同學被選到的可能性相同）．
（Ⅰ） 求m，n的值；
（Ⅱ）求選出的3名同學恰為專業(yè)互不相同的男生的概率；
（Ⅲ）設(shè)ξ為選出的3名同學中“女生或數(shù)學專業(yè)”的學生的人數(shù)，求隨機變量ξ的分布列及其數(shù)學期望Eξ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

19．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，點P（1，1）關(guān)于原點的對稱點為R，點Q（3，2）關(guān)于x軸的對稱點為K．
（1）求作向量$\overrightarrow{OR}$、$\overrightarrow{RK}$；
（2）求作：$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OQ}$；
（3）求作：$\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OK}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設(shè)的固定順序的5個問題中，選手若能正確回答出三個問題，即停止答題，晉級下一輪；否則不能晉級．假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是$\frac{2}{3}$，且每個問題回答的正確與否都相互獨立．
（Ⅰ）求該選手連續(xù)答對三道題晉級下一輪的概率；
（Ⅱ）記該選手在本輪中答對問題的個數(shù)為隨機變量X，求隨機變量X的分布列和期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

16．下列四個命題：
①樣本相關(guān)系數(shù)r滿足：|r|≤1，而且|r|越接近于1，線性相關(guān)關(guān)系越強：
②回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線；
③命題“已知x，y∈R，若x+y≠3，則x≠2或y≠1”是真命題；
④己知點A（-l，0），B（l，0），若|PA|-|PB|=2，則動點P的軌跡為雙曲線的一支．
其中正確命題的個數(shù)為（　�。�
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．在公比為2的等比數(shù)列{an}中，a2+1是a1與a3的等差中項．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{an}前n項的和為Sn，若數(shù)列{bn}滿足bn=anlog2（Sn+2），試求數(shù)列{bn}前n項的和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

20．將$y=sin（2x-\frac{π}{4}）$的圖象上所有點向左平移$\frac{π}{4}$后得到y(tǒng)=f（x）的圖象，則y=f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上的最小值為（　　）
A．-1B．$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C．0D．$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

1．若數(shù)列{an}對任意的正整數(shù)n都有an+λ2=an×an+2λ成立，則稱數(shù)列{an}為“λ階梯等比數(shù)列”，$\frac{{a}_{n+λ}}{{a}_{n}}$的值稱為“階梯比”，若數(shù)列{an}是3階等比數(shù)列且a1=1，a4=2，則a2014=2671．

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同步練習冊答案