Question

如圖①，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，將△AEF折起，使點A到達A′位置，且A′在平面BCEF上的射影恰為點E，如圖②．

（1）求證EF⊥A′C；
（2）求點F到平面A′BC的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由三角形中位線定理得EF∥BC，且EF⊥AC，從而EF⊥平面A′EC，由此能證明EF⊥A′C．
（2）由線面垂直得A′E⊥EC，由勾股定理得S△A′BC=

1

2

•A′C•BC=4

2

，設點F到平面A′BC的距離為d，由VF-A′BC=VA′-FBC，能求出點F到平面A′BC的距離．

解答： （1）證明：在等腰直角△ABC中，
∵E，F(xiàn)分別是AC、AB的中點，
∴EF∥BC，且BC⊥AC，∴EF⊥AC，
∴在四棱錐A′-BCEF中，
EF⊥A′E，EF⊥EC，
又∵A′E∩EC=E，A′E?平面A′EC，EC?平面A′EC，
∴EF⊥平面A′EC，∵A′C?平面A′EC，
∴EF⊥A′C．
（2）解：∵BC∥EF，∴由（1）得BC⊥A′C，
由已知得A′E⊥平面BCEF，
∴A′E⊥EC，
在Rt△A′CB中，A′C=

A′E2+EC2

=

4+4

=2

2

，BC=4，
∴S△A′BC=

1

2

•A′C•BC
=

1

2

×2

2

×4=4

2

，
設點F到平面A′BC的距離為d，
由VF-A′BC=VA′-FBC，得：

1

3

•S△ABC•d=

1

3

•S△FBC•A′E，
∴d=

S△FBC•A′E

S△A′BC

=

1 2 ×4×2×2

4 2

=

2

，
∴點F到平面A′BC的距離為

2

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．