Question

4．已知函數(shù)f（x）=2x（x-1）（x-3）的圖象如圖所示，有以下關(guān)于方程f（x）+1=0的說法：①有2個實數(shù)根；②當(dāng)x＞0時，有1個實數(shù)根；③當(dāng)-1＜x＜0時，有1個實數(shù)根；④當(dāng)x＞1時，有1個實數(shù)根；⑤當(dāng)-1＜x＜3時，有3個實數(shù)根．其中正確說法的序號是③⑤（填上所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，方程f（x）+1=0的根即為函數(shù)y=f（x）和直線y=-1的交點的橫坐標(biāo)．作出直線y=-1，可得三個交點，其橫坐標(biāo)設(shè)為a，b，c，且-1＜a＜0，1＜b＜2，2＜c＜3．對選項一一加以判斷，即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=2x（x-1）（x-3）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2（3x²-8x+3），
當(dāng)f′（x）=0時，x=$\frac{4±\sqrt{7}}{3}$，
由f（x）在（$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$）遞減，在（-∞，$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$），（$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，+∞）遞增，
即有x=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$取得極大值，x=$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$取得極小值，如圖．
方程f（x）+1=0的根即為函數(shù)y=f（x）和直線y=-1的交點的橫坐標(biāo)．
作出直線y=-1，可得三個交點，其橫坐標(biāo)設(shè)為a，b，c，
且-1＜a＜0，1＜b＜2，2＜c＜3．
則①不正確，有3個實數(shù)根；②不正確，x＞0時，有兩個實數(shù)根；
③-1＜x＜0，有1個實數(shù)根，正確；④x＞1，有兩個實數(shù)根，不正確；
⑤當(dāng)-1＜x＜3時，有3個實數(shù)根，正確．
故答案為：③⑤

點評 本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運用，考查方程的根的個數(shù)的判斷，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．