Question

已知函數(shù)f （x）=（m-3）x³+9x．
（1）若函數(shù)f （x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（2）若函數(shù)f （x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為4，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)f （x）在R上是單調(diào)函數(shù)，說明y=f'（x）在（-∞，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，根據(jù)f'（x）=3（m-3）x²+9得f'（0）=9＞0，從而得到只有f'（x）≥0在R上恒成立，由此建立關(guān)于m的不等式即可解出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，當(dāng)m≥3時(shí)f （x）在R上為增函數(shù)，當(dāng)m＜3時(shí)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增．再根據(jù)m的取值結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性建立關(guān)于m的方程，解得m=-2符合題意，得到本題答案．
解答：解：（1）求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=3（m-3）x²+9
∵f'（0）=9＞0，
∴f （x）在區(qū)間（-∞，+∞）上只能是單調(diào)增函數(shù)． …（3分）
又∵f'（x）=3（m-3）x²+9≥0在區(qū)間（-∞，+∞）上恒成立，
∴，解之可得m≥3，即m的取值范圍是[3，+∞）． …（6分）
（2）由（1）的結(jié)論，得當(dāng)m≥3時(shí)，f （x）在[1，2]上是增函數(shù)，
所以[f （x）]_max=f （2）=8（m-3）+18=4，解得m=＜3，不合題意舍去．  …（8分）
當(dāng)m＜3時(shí)，f'（x）=3（m-3）x²+9=0，解之得．
所以f （x）的單調(diào)區(qū)間為：在區(qū)間，上單調(diào)遞減，
在區(qū)間單調(diào)遞增．…（10分）
①當(dāng)，即時(shí)，得，
∴f （x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)增，可得[f （x）]_max=f（2）=8（m-3）+18=4，m=，不滿足題設(shè)要求．
②當(dāng)，即0＜m＜時(shí)，可得[f （x）]_max=舍去．
③當(dāng)，即m≤0時(shí)，則，
∴f （x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)減，可得[f （x）]_max=f （1）=m+6=4，m=-2，符合題意
綜上所述，m的值為-2．…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出三次多項(xiàng)式函數(shù)，討論了函數(shù)的單調(diào)性，已知函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最大值為4的情況下求參數(shù)m的值．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、三次多項(xiàng)式函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法等知識(shí)，屬于中檔題．