【題目】下面命題中,正確的命題有( )
①若n1,n2分別是不同平面α,β的法向量,則n1∥n2α∥β;
②若n1,n2分別是平面α,β的法向量,則α⊥βn1·n2=0;
③若n是平面α的法向量,b,c是α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,a=λb+μc(λ,μ∈R),則n·a=0;
④若兩個(gè)平面的法向量不垂直,則這兩個(gè)平面一定不垂直.
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】分析:①由面面平行則法向量共線,反之則不然判斷;②由面面垂直的定義判斷;③由線面垂直的性質(zhì)及向量共面定理判斷;④由面面垂直的定義判斷.
詳解:①中由可得,由可得,平面與可能平行,也可能重合,故①不正確;
②,則二面角的平面角成,由圓的內(nèi)接四邊形對(duì)頂角互補(bǔ)知法向量垂直,反之當(dāng)法向量垂直,則二面角成,由圓內(nèi)接四邊形對(duì)頂角互補(bǔ),知兩平面垂直,故②正確;
③由,知三向量共面,則在平面內(nèi)或與平面平行,所以平面的法向量與直線垂直,故③正確;
④若兩個(gè)平面的法向量不垂直,則所成角不是,則由內(nèi)接四邊形對(duì)頂角互補(bǔ)知兩平面所成的角不是,故④正確.
故選:C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,底面,,,,分別為的中點(diǎn),為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若為線段的中點(diǎn),求證:平面;
(Ⅲ)試判斷直線與平面是否能夠垂直。若能垂直,求的值;若不能垂直,請(qǐng)說(shuō)明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度(單位:厘米)滿足關(guān)系:.若不建隔熱層,每年的能源消耗費(fèi)用為萬(wàn)元.設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與年的能源消耗費(fèi)用之和.
(1)求的值及的表達(dá)式;
(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用最小,并求其最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高二理(1)班學(xué)習(xí)興趣小組為了調(diào)查學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例,設(shè)計(jì)了如下調(diào)查方法:
(1)在本校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生,并編號(hào)1,2,3,…,100;
(2)在箱內(nèi)放置了兩個(gè)黃球和三個(gè)紅球,讓抽取到的100名學(xué)生分別從箱中隨機(jī)摸出一球,記住其顏色并放回;
(3)請(qǐng)下列兩類學(xué)生站出來(lái),一是摸到黃球且編號(hào)數(shù)為奇數(shù)的學(xué)生,二是摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生。
若共有32名學(xué)生站出來(lái),那么請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)估計(jì)該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例大約是( )
A. 80%B. 85%C. 90%D. 92%
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)后,班級(jí)學(xué)委對(duì)選答題的選題情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如下表:
幾何證 明選講 | 極坐標(biāo)與 參數(shù)方程 | 不等式 選講 | 合計(jì) | |
男同學(xué) | 12 | 4 | 6 | 22 |
女同學(xué) | 0 | 8 | 12 | 20 |
合計(jì) | 12 | 12 | 18 | 42 |
(1)在統(tǒng)計(jì)結(jié)果中,如果把幾何證明選講和極坐標(biāo)與參數(shù)方程稱為“幾何類”,把不等式選講稱為“代數(shù)類”,我們可以得到如下2×2列聯(lián)表.
幾何類 | 代數(shù)類 | 合計(jì) | |
男同學(xué) | 16 | 6 | 22 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
合計(jì) | 24 | 18 | 42 |
能否認(rèn)為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關(guān),若有關(guān),你有多大的把握?
(2)在原始統(tǒng)計(jì)結(jié)果中,如果不考慮性別因素,按分層抽樣的方法從選做不同選答題的同學(xué)中隨機(jī)選出7名同學(xué)進(jìn)行座談.已知這名學(xué)委和2名數(shù)學(xué)課代表都在選做“不等式選講”的同學(xué)中.
①求在這名學(xué)委被選中的條件下,2名數(shù)學(xué)課代表也被選中的概率;
②記抽取到數(shù)學(xué)課代表的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
下面臨界值表僅供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三點(diǎn)O(0,0),A(﹣2,1),B(2,1),曲線C上任意一點(diǎn)M(x,y)滿足| + |= ( + )+2.
(1)求曲線C的方程;
(2)動(dòng)點(diǎn)Q(x0 , y0)(﹣2<x0<2)在曲線C上,曲線C在點(diǎn)Q處的切線為直線l:是否存在定點(diǎn)P(0,t)(t<0),使得l與PA,PB都相交,交點(diǎn)分別為D,E,且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)?若存在,求t的值.若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的,,,四項(xiàng)參賽作品,只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:
甲說(shuō):“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”;
乙說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”;
丙說(shuō):“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;
丁說(shuō):“是作品獲得一等獎(jiǎng)”.
若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第屆世界杯足球賽在俄羅斯進(jìn)行,某校足球協(xié)會(huì)為了解該校學(xué)生對(duì)此次足球盛會(huì)的關(guān)注情況,隨機(jī)調(diào)查了該校名學(xué)生,并將這名學(xué)生分為對(duì)世界杯足球賽“非常關(guān)注”與“一般關(guān)注”兩類,已知這名學(xué)生中男生比女生多人,對(duì)世界杯足球賽“非常關(guān)注”的學(xué)生中男生人數(shù)與女生人數(shù)之比為,對(duì)世界杯足球賽“一般關(guān)注”的學(xué)生中男生比女生少人.
(1)根據(jù)題意建立列聯(lián)表,判斷是否有的把握認(rèn)為男生與女生對(duì)世界杯足球賽的關(guān)注有差異?
(2)該校足球協(xié)會(huì)從對(duì)世界杯足球賽“非常關(guān)注”的學(xué)生中根據(jù)性別進(jìn)行分層抽樣,從中抽取人,再?gòu)倪@人中隨機(jī)選出人參與世界杯足球賽宣傳活動(dòng),求這人中至少有一個(gè)男生的概率.
附:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種樹(shù)苗栽種時(shí)高度為A(A為常數(shù))米,栽種n年后的高度記為f(n).經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)f(n)近似地滿足 f(n)=,其中,a,b為常數(shù),n∈N,f(0)=A.已知栽種3年后該樹(shù)木的高度為栽種時(shí)高度的3倍.
(1)栽種多少年后,該樹(shù)木的高度是栽種時(shí)高度的8倍;
(2)該樹(shù)木在栽種后哪一年的增長(zhǎng)高度最大.
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