【題目】已知雙曲線E:=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=﹣2x.
(1)求雙曲線E的離心率;
(2)如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線l分別交直線l1 , l2于A,B兩點(diǎn)(A,B分別在第一、第四象限),且△OAB的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E?若存在,求出雙曲線E的方程,若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】解:(1)因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=﹣2x,
所以=2.
所以=2.
故c=a,
從而雙曲線E的離心率e==
(2)由(1)知,雙曲線E的方程為=1.
設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C,
當(dāng)l⊥x軸時(shí),若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則|OC|=a,|AB|=4a,
所以|OC||AB|=8,
因此a4a=8,解得a=2,此時(shí)雙曲線E的方程為=1.
以下證明:當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí),雙曲線E的方程為=1也滿足條件.
設(shè)直線l的方程為y=kx+m,依題意,得k>2或k<﹣2;
則C(﹣,0),記A(x1 , y1),B(x2 , y2),
得y1=,同理得y2=
由S△OAB=|OC||y1﹣y2|得:
|﹣|||=8,即m2=4|4﹣k2|=4(k2﹣4).
得:(4﹣k2)x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0,
因?yàn)?﹣k2<0,
所以△=4k2m2+4(4﹣k2)(m2+16)=﹣16(4k2﹣m2﹣16),
又因?yàn)閙2=4(k2﹣4),
所以△=0,即直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
因此,存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E,且E的方程為=1.
【解析】(1)依題意,可知=2,易知c=a,從而可求雙曲線E的離心率;
(2)由(1)知,雙曲線E的方程為=1,設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C,分l⊥x軸與直線l不與x軸垂直討論,當(dāng)l⊥x軸時(shí),易求雙曲線E的方程為=1.當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,與雙曲線E的方程聯(lián)立,利用由S△OAB=|OC||y1﹣y2|=8可證得:雙曲線E的方程為=1,從而可得答案.

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9

8

8

3

3

7

2

1

0

9

9

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A.
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C.
D.

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(Ⅱ)已知a<0,若函數(shù)y=f(x)的圖象總在直線y=-的下方,求a的取值范圍;
(Ⅲ)記f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).若a=1,試問(wèn):在區(qū)間[1,10]上是否存在k(k<100)個(gè)正數(shù)x1 , x2 , x3…xk , 使得f′(x1)+f′(x2)+f′(x3)+…+f′(xk)≥2012成立?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

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