Question

8．如圖，O₁是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁C₁D₁的中心，M是對角線A₁C和截面B₁D₁A的交點(diǎn)，求證：O₁、M、A三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出O₁、M、A是平面AC₁和平面AB₁D₁的公共點(diǎn)，由此利用公理三能證明O₁、M、A三點(diǎn)共線．

解答 證明：∵O₁是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁C₁D₁的中心，
∴A₁C₁∩B₁D₁=O₁，∴O₁∈A₁C₁，且O₁∈B₁D₁，
∵A₁C₁?平面AC₁，B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴O₁∈平面AC₁，且O₁∈平面AB₁D₁，
∵M(jìn)是對角線A₁C和截面B₁D₁A的交點(diǎn)，
∴M∈A₁C，且M∈截面B₁D₁A，
∵A₁C?平面AC₁，
∴M∈平面AC₁，且M∈平面AB₁D₁，
∵A∈平面AC₁，且A∈平面AB₁D₁，
∴O₁、M、A是平面AC₁和平面AB₁D₁的公共點(diǎn)，
∴O₁、M、A三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評 本題考查三點(diǎn)共線的證明，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，合理運(yùn)用公理三，注意空間思維能力的培養(yǎng)．